HIISTORIA FUNCION EXPONENCIAL

Definición.
Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.
Como para todo IR, la función exponencial es una función de IR en IR+


La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K \cdot a^x
siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base aque utilicen.

FUNCION EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
f:R → R
x → f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
1. a° = 1
2. a-n = 1/an

Ejemplos de funciones exponenciales
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f:R → R
f(-3) = 2-³ = 1/2³ = 1/8
f(-1/2) = 2-1/2 = 1/21/2 = 1/√2
f(1) = 2¹ = 2
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
2. La función y = 1/2x es una función exponencial de base 1/2.
Alguno de los valores que toma esta función, f: R → R , son:
f(-4) = 2-4 = 1/24 = 1/16
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
f(0) = (1/2)° = 1
f(2) = (1/2) ² = 1/4
Propiedades de la función exponencial y = a x
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Representación gráfica de la función exponencial
Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax:
A) a > 1
En este caso, para x = 0, y = a° = 1
para x = 1, y = a¹ = a
para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.
Como caso particular se representa la función y = 2x.
B) a < 1
Para x = 0, y = a° = 1
Para x = 1, y = a¹ = a
Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.
Como caso particular se representa la función y = (1/2)x.
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:
1. ax = ay ⇔ x = y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
2. ax.ay = ax + y
3. ax/ay = ax - y
4. (ax)y = ax.y
El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.