MUESTRA PEDAGÒGICA PASTORAL 2013 EN EL AREA DE MATEMATICA DE 5TO AÑO ECONOMIA

INTRODUCCION A LOS LOGARITMOS

LAS CONTRIBUCIONES DE NEPER

John Napier (Neper) (1550-1617) fue un matemático escoces que hizo grandes contribuciones al cálculo, dentro de ellas podemos destacar:

• El descubrimiento de los logaritmos.
• La invención del ábaco neperiano.
• La invención del ábaco de fichas.

LOS LOGARITMOS

En el año de 1614 Neper público su obra llamada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio en la cual dio a conocer lo que él llamaba números artificiales y que posteriormente se conocerían como logaritmos.

Este libro atrajo inmediatamente la atención de los matemáticos de su tiempo, debido sobre todo, a que el empleo de los logaritmos facilita la resolución de cálculos matemáticos muy complejos ya que permite sustituir las multiplicaciones por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones.

Los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, en especial de la astronomía, representativo de esto es la afirmación de Pierre Simón Laplace:

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.

ÁBACO NEPERIANO

A finales de 1617 Neper publicó su obra titulada Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo en la que describe un instrumento de cálculo — conocido comúnmente como ábaco neperiano — que permite reducir los productos a sumas y los cocientes a restas.

El ábaco neperiano consiste en un tablero con reborde sobre el cual se colocan un conjunto de varillas rectangulares móviles que colocadas adecuadamente sirven para facilitar la multiplicación  usando el sistema de numeración indo-arábigo.

La orilla izquierda del reborde, funciona como una varilla fija y está dividida en 9 casillas iguales cada una de las cuales contiene un dígito del 1 al 9, comenzando con el uno en la parte superior y finalizando con el 9 en la casilla inferior.

Un juego de varillas está compuesto por 10, una para cada dígito del 0 al 9.

La cara frontal de cada varilla está dividida en 9 casillas cuadradas. La casilla superior se deja tal cual y las ocho restantes se dividen en mitades por medio de un trazo diagonal.

En la casilla superior se coloca el dígito al que corresponde la varilla y en las siguientes se escribe el resultado de la multiplicación del dígito por 2, 3,…, 9, respectivamente. Los dígitos resultantes del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en el caso de aquellos productos menores que 10 se utiliza un cero a la izquierda.

Atendiendo a su forma, a su función o al material con que está construido, al ábaco neperiano ha sido también conocido con otros nombres como:

• Varillas o regletas de Neper.
• Huesos de Neper (Napier’s bones en inglés). En los más antiguos, las varillas estaban hechas con hueso o marfil.
• Ábaco rabdológico. Del griego rabdos, varilla y logos, tratado.
• Tablas de multiplicar de Neper. Debido a que su función principal es facilitar la multiplicación y como consecuencia otras operaciones como la división y, en usos más avanzados, la extracción de la raíz cuadrada.

Por ser económico, confiable y preciso, este instrumento de cálculo tuvo un gran éxito en Europa hasta comienzos del siglo XX.

Multiplicación

En esta sección se explicará el uso del ábaco neperiano para calcular productos.

Producto de un número de varias cifras por otro de una sola

Supongamos que queremos multiplicar el número 37694287 por 8, procedemos como sigue:

Colocamos sobre el tablero las varillas necesarias para formar el número 37694287.

El producto se obtiene sumando — con acarreo — los elementos en diagonal, de la franja horizontal correspondiente a la casilla 8 de la varilla fija.

Como puede verse, para obtener el producto solo se requiere de algunas sumas sencillas.

Producto de dos números de varias cifras

Supongamos ahora que queremos obtener el producto de 37694287 y 98542.

Tomando como referencia el ejemplo anterior, hacemos lo siguiente:

Obtenemos los productos parciales de 37694287 por cada uno de los dígitos de 98542.

Colocamos adecuadamente los productos obtenidos en el paso 1 y sumamos.

Con esto obtenemos el producto buscado.

Usando este instrumento, se pueden calcular los productos de números de una gran cantidad de cifras siempre y cuanto se cuente las varillas necesarias para hacerlo.

División

Para explicar la división usaremos el siguiente ejemplo: Supongamos que queremos dividir 39705397 entre 76953.

El procedimiento se ilustra gráficamente en la figura. Ponerlo en palabras no resulta tan sencillo, mi intento es el siguiente:

1. Mediante el ábaco neperiano calculamos el producto del divisor — 76953 — con cada uno de los dígitos del 1 al 9. Obtenemos 9 productos a los cuales podemos llamar productos parciales.
2. Exploramos el dividendo — 39705397 — de izquierda a derecha hasta encontrar el primer conjunto de dígitos que formen un número mayor que el divisor, por el momento discriminamos los dígitos restantes.
En esta ocasión el número del que hablamos resulta ser 397053.
3. Dentro de los productos parciales seleccionamos aquel que sea menor y más cercano al número encontrado en el paso 2.
En el caso que nos ocupa es: 384765.
4. Escribimos en el cociente el dígito por el que está multiplicado el divisor para dar el número hallado en el paso 3. Este dígito es más significativo que los que se hallen en las siguientes etapas de la solución.
En nuestro ejemplo, el dígito más significativo del cociente es 5 ya que 76953 x 5 = 384765.
5. Tomando como minuendo el número encontrado en el paso 2 y como sustraendo el hallado en el paso 3 realizamos la sustracción indicada.
En nuestro problema esta operación queda así: el sustraendo es 397053, el minuendo 384765 y la diferencia 12288.
6. A la diferencia obtenida en el paso 5, le agregamos a la derecha el dígito que se encuentra más a la izquierda de aquellos que se discriminaron en el paso 2.
Nuestro nuevo número resulta ser 122889.
7. Si el número hallado en el paso 6 es menor que el divisor se escribe un cero en la parte derecha del cociente y se agrega a nuestro número otro más de los dígitos discriminados.
8. Con las adecuaciones pertinentes, se ejecuta repetidamente el proceso desde el paso 2, hasta que hayamos incluido todos los dígitos discriminados.
En este punto ya habremos encontrado nuestro cociente y nuestro residuo.

ÁBACO DE FICHAS

Además del ábaco descrito arriba, Neper también inventó otro ábaco de fichas que es una ampliación del anterior.

En el Museo Arqueológico Nacional de España se conserva un instrumento que reúne ambos ábacos: el de varillas (descrito anteriormente) y el de fichas.

Él ábaco de fichas está constituido por 300 fichas de marfil con pequeñas perforaciones triangulares que solo permiten ver las cifras convenientes del ábaco de varillas. Con este aparato se pueden realizar multiplicaciones de números de hasta doscientas cifras en cada uno de los factores.

LOS LOGARITMOS EN LA VIDA COTIDIANA

Aplicación de logaritmos en la vida diaria

Cuando hablamos de logaritmos ¿Qué se nos viene a la mente? Seguramente creemos que estos simples exponentes no sirven para nada más que para resolverlos en clase y simplificarnos las potencias. Si es así, seria mejor conocerlos un poco.

Como sabemos el logaritmo de un número sobre una base, es igual al exponente al cual hay que elevar a la base para obtener dicho número. Tal como vemos en la imagen de al lado, un ejemplo que describe al logaritmo en si. 

La historia del logaritmo es interesante, John Napier fue el primero en definir y usar el termino logaritmo a través de un libro que desarrollo “,Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”  el llamaba inicialmente a los logaritmos números artificiales, luego el nombre se transformo en el sentido del numero que indica una proporción. El logaritmo causo gran impacto en la ciencia, sobretodo la astronomía, ayudaba mucho en los cálculos complejos.

“Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además el calculo de las raíces se realiza también con gran facilidad.” Herry Briggs (1556-1631), astrónomo.

Los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente tal como Herry Briggs lo decía, es por esto que el uso de los logaritmos sirve hasta ahora en varias ramas y con distintas utilidades, conozcamos algunas de estas:

• En la Economía y la Banca: Los índices de crecimiento son exponenciales, se aplica en la demanda y oferta, asi como obtener los porcentajes de los parametros. Mientras en la banca sirve para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo.
• En la Estadística: Suele aplicarse en el crecimiento de la población.
• En la Publicidad: Cuando se realizan las estadísticas sobre la campaña publicitaria que se va a lanzar, se realizan cálculos matemáticos con logaritmos. Estas estadísticas definen el fracaso o éxito de la campaña.
• En la Medicina: Solo es aplicable en ciertos fenómenos tales como el resultado del experimento psicológico de Stenberg. También se aplica en la inmunología.
• En la Psicología: Se utiliza en la ley de Weber-Fechner, fenómeno del estimulo y respuesta. Aquí la respuesta (R) se relaciona con el estimulo (E) mediante una ecuación donde por ejemplo E0 es el valor mínimo del estimulo que se encuentra en el sujeto. 
• En la Ingeniería Civil: Cuando se resuelven problemas específicos, siempre teniendo en cuenta una ecuación de segundo grado.
• En la Biología: Es aplicado en los estudios de los efectos nutricionales de los organismos. Así como también en el calculo del PH. También en la genética, donde se utiliza la estadística y la probabilidad para saber sobre lo que un hijo heredara de sus padres.
• En la Geología: Sirven de cálculo para calcular la intensidad de un evento, así como un sismo o un terremoto. Aquí es usado en la escala de Richter, donde la intensidad de un sismo se conoce en base a los logaritmos.
• En la Astronomía: Para determinar la magnitud estelar de una estrella o planeta se usan cálculos de carácter logarítmico para determinar la brillantez y magnitud.  Al establecer la luminosidad visible de una estrella, se opera con tablas de logaritmos en base 2.5.
• En la Química: Para calcular el PH de las sustancias se utilizan logaritmos. El PH normalmente es medido constantemente debido al efecto de las lluvias ácidas producidas por el azufre de las plantas eléctricas y fabricas.
• En la Topografía: Cuando queremos determinar la altura de un edificio usando la base y el ángulo.
• En la Música: El pentagrama es una escala logarítmica ya que la altura del sonido es proporcional a la del numero de frecuencia, además ayuda a medir los grados de tonalidad ya que se pueden representar por el logaritmo en base 2.

• Uno de los casos importantes de la aplicación de logaritmos aparte de la astronomía y las demás ciencias, creo que hay que resaltar el uso de logaritmos en la música. Les dejo el siguiente vídeo donde podrán apreciar una mejor explicación mas profunda de lo que es el uso de logaritmos en esta materia. En el vídeo podemos observar la aplicación de los logaritmos con ayuda de las notas musicales y formulas que con ayuda de los logaritmos lo que nos parecerá complicado al principio lo terminamos simplificando.

En general los logaritmos son importantes en nuestra vida ya que los emplearemos conscientemente o inconscientemente en el área que nos desarrollemos ya que serán gran ayuda para resolver esas grandes ecuaciones que se nos presentaran en adelante. 

HISTORIA DE LOS LOGARITMOS

La importancia de medir y calcular

En el s. XVII se acomete el estudio preciso de las leyes naturales (con las funciones) y de sus variaciones (con el Cálculo Diferencial). Pero se trataba de conceptos teóricos que debían aplicarse a medidas experimentales, sobre las que luego había que realizar cálculos laboriosos. Se ponían en evidencia dos requisitos importantes: por una parte, disponer de un sistema universal de medidas; y, por otra, mejorar la capacidad de cálculo.

Lo primero no se alcanza plenamente hasta 1792, cuando la Academia de Ciencias de París establece el Sistema Métrico Decimal, un triunfo imperecedero del racionalismo impuesto por la Revolución Francesa (ver grabado de la derecha).

Pero la mejora de los cálculos, tanto en rapidez como en precisión, era una línea de avance permanente desde el siglo XV, que había fructificado ya en el siglo XVI en un concepto decisivo:el logaritmo.

Renacimiento: tablas para los cálculos

En el Renacimiento, una pseudociencia como la Astrología contribuyó indirectamente al progreso de la Ciencia, ya que la elaboración de los horóscopos obligaba a cálculos y observaciones astronómicas (una curiosidad: el alemán Michel Stifel, importante en el desarrollo de las tablas de logaritmos, profetizó el “fín del mundo” para el 18 de octubre de 1533 a las 8:00 y fue destituido por fallar en su predicción).

Lo mismo cabe decir de la elaboración de los calendarios. O, en Arquitectura,  el diseño de fortalezas teniendo en cuenta las condiciones del terreno para, con la ayuda de bastiones, ángulos, salientes, etc., protegerse de la artillería de los sitiadores; también en Navegación, etc.

Todas esas necesidades planteaban problemas de Trigonometría y había que disponer de tablas trigonométricas precisas. El alemán Johaness Müller “Regiomontano” publicó en el s. XV tablas del seno de un ángulo a intervalos de 1’ y tablas de la tangente a intervalos de 1º. Pero, una vez conocidas las razones trigonométricas había que realizar cálculos complicados con ellas. Los logaritmos se inventaron con el propósito de simplificar, en especial a los astrónomos, las engorrosas multiplicaciones, divisiones y raíces de números con muchas cifras.

El concepto de logaritmo se debe al suizo Jorst Bürgi y su nombre tiene un significado muy explicativo: logaritmo significa “número para el cálculo”. El escocés John Napier (en la foto) enseguida lo aprovechó para publicar en 1614 su obra “Mirifici logaithmorum canonis descriptio” (descripción de la maravillosa regla de los logaritmos) con las primeras tablas de logaritmos para el seno y el coseno de un ángulo a intervalos de 1’ y con siete cifras. Pero veamos cuál fue su genial idea.

La idea clave: trabajar con los exponentes de potencias es más fácil

Veámoslo, observando la tabla de las 30 primeras potencias de 2 (desde 2⁰ hasta 2²⁹):

2⁰ = 1         2¹ = 2       2² = 4            2³ = 8          2⁴ = 16

2⁵ = 32       2⁶ = 64     2⁷ = 128        2⁸ = 256       2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024                  2¹¹ = 2048               2¹² = 4096   

2¹³  = 8192                 2¹⁴  = 16384             2¹⁵ = 32768          

2¹⁶ = 65536                2¹⁷ = 131072            2¹⁸ = 262144  

2¹⁹ = 524288              2²⁰ = 1048576          2²¹ = 2097152        

2²² = 4194304            2²³ = 8388608          2²⁴ = 16777216

2²⁵ = 33554432          2²⁶ = 67108864         2²⁷ = 134217728

2²⁸  = 268435456        2²⁹  = 536870912

Ahora calculamos:  

 32768 · 16384 = 2¹⁵ · 2¹⁴ = 2¹⁵⁺¹⁴ =  2²⁹= 536870912

 268435456 : 1048576 = 2²⁸ : 2²⁰= 2^28-20 = 2⁸ = 256    

 512³ =  (2⁹)³ = 2^9·3 = 2²⁷  = 134217728 

 p67108864 =  p2²⁶ = 2^26:2 = 2¹³  = 819    

U En los cálculos anteriores ha sido una gran ventaja trabajar con los exponentes de las potencias, en lugar de hacerlo con los números del principio. Gracias a ello, para hacer el producto sólo hemos tenido que hacer una suma de exponentes; para el cociente, una diferencia; etc. Pero enseguida surge una objeción: ¡Esos números están preparados! 
Si los números con los que hay que operar no están entre esas potencias de 2, ¿qué se hace?. Por ejemplo:  678.314 x 15.432.099                                                                        
La respuesta es que esos nuevos números, y cualesquiera otros positivos, aunque no estén en la tabla dada de potencias de 2, también pueden expresarse como potencias de 2 ... con exponentes racionales.
Por ejemplo (compruébalo con tu calculadora):                                                
 678.314 =  2 19,371594                                                                                                                                   
15.432.099 = 2 23,879431
678.314 x 15.432.099 =  2 19,371594 x 2 23,879431 = 2 19,371594 + 23,879431 = 2 43,251025 = 1,0467811 x 1013
 U Es momento de recordar el significado de semejantes potencias, donde el exponente es un número decimal. Tal vez te hayan extrañado, pero piensa que cualquier decimal exacto se puede poner en forma de fracción y que la potencia de exponente fraccionario es una raíz.
Ejemplos:      2 0,5 = 2 1/2 = p 2          7 0,2 = 7 1/5 =  5p 7                                                              3 2,357 = 3 2357 / 1000 = 1000p32357
U Volvamos al ejemplo de las potencias de 2. Es sorprendente pensar que cualquier número se pueda expresar como potencia de 2. ¿Y como potencias de otra base positiva?... ¡También se puede!.
Por ejemplo:
 5 se puede expresar como potencia de base 10:  5 = 10 0,69897 
se dice que el logaritmo de 5 en base 10 es 0,69897  y se expresa así:     log 10 5 =  0,69897 
5 se puede expresar como potencia de base 2:   5 = 2 2,3219281 
se dice que el logaritmo de 5 en base 2 es 2,3219281  y se expresa así:   log 2 5 =  2,3219281 
5 se puede expresar como potencia de base 3:     5 = 3 ?
calcular ese exponente será calcular el logaritmo de 5 en base 3 .
De todo lo anterior, obtenemos una propiedad y una definición importantes:

Propiedad: Si  a  es un número positivo distinto de 1, cualquier número real positivo N se puede expresar como potencia de  a con un exponente racional  x .   N = a ^x

Esta forma de escribir un número  N  se dice que es su notación potencial o logarítmica.

Definición: El logaritmo en base  a  de un número  N  es el exponente al que hay que elevar la base  a  para que dé dicho número.           

N = a ^x  < === >   x = log _a N 

De todas las bases posibles, para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. Así, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base.

log x  = log ₁₀  x 

Los cálculos con las tablas de logaritmos

A partir de la publicación de las tablas de logaritmos, la forma práctica de proceder ante cálculos complicados era ésta:  Si había que calcular, por ejemplo,    5p 45.876.112
Primero se buscaba en las tablas:          log 45.876.112  = 7,6615866
Entonces:         5p 45.876.112 = 5p 10 7,6615866 = 10 7,6615866 / 5 = 10 1,5323173
Y ya sólo faltaba conocer esa potencia, lo cual también se obtiene en las tablas de logaritmos: se le llamaba  antilogaritmo.
10 1,5323173 = 34,065699  (comprueba en tu calculadora que ,    5p 45.876.112 = 34,065699)
Hallar el logaritmo consiste en hallar el exponente de la potencia, conocido el resultado. Hallar el antilogaritmo era el proceso inverso: conocido el resultado, hallar el exponente de la potencia.

Los logaritmos en la calculadora

En particular, podemos obtener logaritmos decimales en la calculadora, con la tecla  log   

 Para conocer logaritmos en cualquier otra base, basta aplicar esta fórmula de conversión:

 log _a x = log x / log a 

Aproximación de logaritmos entre dos enteros

Aproximando un número con potencias, por defecto y por exceso, se puede aproximar su logaritmo. Por ejemplo: 

Si buscamos   log ₂ 13 :   8 < 13 < 16   à  2 ³ < 13 < 2 ⁴  à   3 < log ₂ 13< 4

Si buscamos   log 0,010 :   0,010 < 0,057 < 0,100   à  10 ^-2 < 0,057 < 10 ^-1  à   -2 < log  0,057< -1

Propiedades de los logaritmos

Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente.Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.








Logaritmos neperianos

Si se adoptó la base de logaritmos decimal fue por analogía con nuestro sistema de numeración, basado en los dedos de las manos. Pero, después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:

Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log _e x  .

Aplicaciones de los logaritmos

Los logaritmos hoy ya no son necesarios para hacer grandes cálculos; gracias a la microelectrónica es posible hacerlos de forma instantánea con la calculadora o el ordenador. Sin embargo, durante siglos de uso, los logaritmos dejaron su huella en las Matemáticas y aún hoy es necesario que los conozcas; pero ahora ya no para calcular, sino para utilizarlos como concepto asociado a muchas situaciones. En particular, son útiles las escalas logarítmicas (entre ellas, la Escala de Richter).